Matematica discreta Esempi

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$0$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 0$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Passaggio 4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $0$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 0$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(48)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $4 x^{2} - 2 x + 48$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $48$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

Passaggio 8

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $2 x$ da $48 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

Passaggio 8.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

Passaggio 8.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ .

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 11

Imposta $2 x^{2} - x + 24$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $2 x^{2} - x + 24$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x^{2} - x + 24 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 1$ e $c = 24$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

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Passaggio 11.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Passaggio 11.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.1.3

Sottrai $192$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.1.4

Riscrivi $- 191$ come $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (191)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 11.2.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Passaggio 11.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.1.3

Sottrai $192$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.1.4

Riscrivi $- 191$ come $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (191)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 11.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 11.2.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Passaggio 11.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.1.3

Sottrai $192$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.1.4

Riscrivi $- 191$ come $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (191)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 11.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Passaggio 13